PID從20世紀(jì)二三十年代開始被工業(yè)界廣泛應(yīng)用，戲法變了好幾十年，也該換換花樣了。PID說一千道一萬，還是經(jīng)典控制理論的產(chǎn)物。20世紀(jì)五六十年代時(shí)，什么都要現(xiàn)代派：建筑從經(jīng)典的柱式、比例、細(xì)節(jié)的象征意義，變到“形式服從功能”的鋼架玻璃盒子；汽車從用機(jī)器牽引的馬車，變到流線型的鋼鐵藝術(shù)；控制理論也要緊跟形勢(shì)，要現(xiàn)代化。于是，美國人魯?shù)婪颉た柭≈赝瞥鰹V波器·····現(xiàn)代控制理論。昌暉儀表網(wǎng)技術(shù)文庫欄目以大話形式推出一系列介紹控制理論的文章，分別介紹線性控制、最優(yōu)控制、離散控制模型與辨識(shí)、自適應(yīng)控制模型預(yù)估控制方面的內(nèi)容。

大話現(xiàn)代控制理論之線性控制篇
大家都看過舞龍吧？一個(gè)張牙舞爪的龍頭氣咻咻地追逐著一個(gè)大繡球，龍身子扭來扭去，還時(shí)不時(shí)跳那么一兩下。中國春節(jié)沒有舞龍，就和西方人的圣誕節(jié)沒有圣誕老人一樣不可思議。想象一下，如果這是一條眼睛看不見的盲龍，只能通過一個(gè)人捏著龍尾巴在后面指揮，然后再通過龍身體里的人一個(gè)接一個(gè)地傳遞控制指令，最后使龍頭咬住繡球。這顯然是一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，龍身越長(zhǎng)，人越多，動(dòng)態(tài)響應(yīng)越遲緩。如果只看龍頭的位置，只操控龍尾巴，而忽略龍身子的動(dòng)態(tài)，那就是所謂的輸入-輸出系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論就是建立在輸入-輸出系統(tǒng)的基礎(chǔ)上的。對(duì)于很多常見的應(yīng)用，這就足夠了。

但是卡爾曼不滿足于“足夠”。龍頭當(dāng)然要看住，龍尾巴當(dāng)然要捏住，但龍身體為什么就要忽略呢？要是能夠看住龍身體，甚至操縱龍身體，也就是說，不光要控制龍頭龍尾巴，還要控制整個(gè)龍身體，那豈不更好？這就是狀態(tài)空間的概念：將一個(gè)系統(tǒng)分解為輸入、輸出和狀態(tài)。輸出本身也是一個(gè)狀態(tài)，或者是狀態(tài)的一個(gè)組合。在數(shù)學(xué)上，卡爾曼的狀態(tài)空間方法就是將一個(gè)高階微分方程分解成一組聯(lián)立的一階微分方程，這樣可以使用很多線性代數(shù)的工具，在表述上也比較簡(jiǎn)潔、明了。

卡爾曼是一個(gè)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)家的想法就是和工程師不一樣。工程師腦子里轉(zhuǎn)的第一個(gè)念頭就是“我怎么控制這個(gè)東西？增益少？控制器結(jié)構(gòu)是什么樣的？”數(shù)學(xué)家想的卻是什么解的存在性、唯一性之類虛頭巴腦的東西。不過呢，這么說數(shù)學(xué)家也不公平。好多時(shí)候，工程師憑想象和“實(shí)干”辛苦了半天，發(fā)現(xiàn)想法完全不靠譜，結(jié)果完全不合情理，這時(shí)才想起那些存在性、唯一性什么的還是有用的。還記得永動(dòng)機(jī)嗎？這不是勤奮加小聰明就可以發(fā)明的，不可能的就是不可能的。

圖1 本來龍尾巴這一頭的控制指令可以通過一個(gè)人、一個(gè)人往下傳，控制整個(gè)舞龍動(dòng)作的，但中間有兩個(gè)人開小差，這龍就舞不起來了，換句話說，不可控了

還是回過來看這條龍?，F(xiàn)在，龍頭、龍尾巴、龍?bào)w都要看，不光要看，還要直接拿捏住每一個(gè)環(huán)節(jié)。但是，這龍不是想看就看得了的，不是想舞就舞得了的。說到“看”，直接能夠測(cè)量/觀測(cè)的狀態(tài)在實(shí)際上是不多的，所謂看，實(shí)際上是估算。要是知道龍身體有多少節(jié)(就是有多少個(gè)人在下面撐著啦)，龍身體的彈性/韌性有多少，那么捏住龍尾巴抖一抖，再看看龍頭最后落到哪里，是可以估算出龍身體每一節(jié)的位置的，這叫作狀態(tài)觀測(cè)。那么，要是這龍中間有幾個(gè)人開小差，手不好好拉住，那再捏住龍尾巴亂抖也沒用，
這時(shí)系統(tǒng)中的部分狀態(tài)就是不可觀測(cè)的。如果你一聲令下，部分人充耳不聞，根本不理會(huì)你的指揮，或者說控制命令根本傳不到這些人這里，那這些狀態(tài)就是不可控制的?？柭鼜臄?shù)學(xué)上推導(dǎo)出不可控和不可觀的條件，在根本上解決了什么時(shí)候才不瞎耽誤工夫的問題。這是控制理論的一個(gè)重要里程碑。

再來看這條龍。如果要看這條龍整齊不整齊，排成縱列的容易看清楚；如果要清點(diǎn)人數(shù)，看每一個(gè)人的動(dòng)作，排成橫列更容易看清楚。但是無論怎么排，這條龍還是這條龍，只是看的角度不同。早些年中國的春節(jié)舞龍還沒有在美國的中國城里鬧騰起來，不知道卡爾曼有沒有看到過舞龍，反正他把數(shù)學(xué)上的線性變換和線性空間的理論搬到控制里面，從此，搞控制的人有了新工具：一個(gè)系統(tǒng)橫著看不順眼的話，可以豎著看。興趣來了，還可以斜著看、倒著看、擰著看，因?yàn)闊o論怎么看，系統(tǒng)的本質(zhì)是一樣的。但是不同的角度有不同的用處，有的角度設(shè)計(jì)控制器容易一點(diǎn)，有的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性容易點(diǎn)，諸如此類。在控制理論里，有各種特診的形式就叫這個(gè)那個(gè)“標(biāo)準(zhǔn)型”。這是控制理論的有一個(gè)里程碑。

這個(gè)“觀測(cè)狀態(tài)的最終目的還是控制。只用輸出的反饋叫作輸出反饋，經(jīng)典控制理論里的反饋都可以歸到輸出反饋里，但是用狀態(tài)進(jìn)行反饋的就叫狀態(tài)反饋了。輸出反饋對(duì)常見系統(tǒng)已經(jīng)很有效了，但狀態(tài)反饋要猛得多，可以對(duì)所有零極點(diǎn)精確配置，而不是像經(jīng)典方法那樣，只配置主要零極點(diǎn)，其他的只是“趕”到左半平面(穩(wěn)定區(qū)域)足夠遠(yuǎn)的地方就行了。想象一下，一個(gè)系統(tǒng)的所有狀態(tài)都被牢牢地瞄住，所有狀態(tài)都乖乖地聽從調(diào)遣，那是何等的威風(fēng)？

盡管學(xué)控制的人都要學(xué)現(xiàn)代控制理論，但大多數(shù)人記得卡爾曼還是因?yàn)槟莻€(gè)卡爾曼濾波器(Kalman Filter)。說它是濾波器，其實(shí)是一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器(State Observer)，是用來從輸入和輸出“重構(gòu)”系統(tǒng)狀態(tài)的。這重構(gòu)聽著玄妙，其實(shí)不復(fù)雜。不是有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型嗎？只要模型精確，給它和真實(shí)系統(tǒng)一樣的輸入，它不就乖乖地把系統(tǒng)狀態(tài)給復(fù)現(xiàn)出來了嗎？且慢，微分方程的解不光由微分方程本身決定，還有一個(gè)初始條件，要是初始條件不對(duì)，即使微分方程的解的形式是正確的，但是數(shù)值永遠(yuǎn)差一拍?？柭谙到y(tǒng)模型的微分方程后再加了一個(gè)尾巴，把實(shí)際系統(tǒng)輸出和模型計(jì)算的理論輸出相比較，再乘上一個(gè)校正因子，形成一個(gè)實(shí)際上的狀態(tài)反饋，把狀態(tài)重構(gòu)的偏差漸進(jìn)地消除，解決了未知或者不確定初始條件和其他的系統(tǒng)誤差問題。

圖2 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)(數(shù)學(xué)模型)推斷，然后根據(jù)斷斷續(xù)續(xù)的情報(bào)(實(shí)時(shí)測(cè)量)修正，來推測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)，這就是卡爾曼濾波的基本原理

卡爾曼濾波器最精妙之處，在于卡爾曼推導(dǎo)出一個(gè)系統(tǒng)的方法，可以考慮進(jìn)測(cè)量噪聲和系統(tǒng)內(nèi)在的隨機(jī)噪聲，根據(jù)信噪比來決定上述校正因子的大小。如果測(cè)量噪聲主導(dǎo)，那最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)主要基于從系統(tǒng)模型重構(gòu)；如果系統(tǒng)本質(zhì)噪聲主導(dǎo)，那最優(yōu)狀態(tài)估計(jì)主要依賴輸出測(cè)量的校正。這是符合實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的。在戰(zhàn)斗中，如果“戰(zhàn)爭(zhēng)之霧”濃重，無法得到及時(shí)、確切的敵人情報(bào)，有經(jīng)驗(yàn)的指揮官會(huì)根據(jù)先前已知的確切情報(bào)和對(duì)敵人通常行為的了解，來憑經(jīng)驗(yàn)對(duì)當(dāng)前敵人的狀態(tài)進(jìn)行推斷；如果敵人根本沒有章法，打仗時(shí)還常常會(huì)莫名其妙亂跑，串個(gè)門、敘個(gè)舊什么的，那就只有根據(jù)當(dāng)前戰(zhàn)線位置反過來推斷了。

預(yù)估－校正”的構(gòu)型其實(shí)不是卡爾曼的獨(dú)創(chuàng)，卡爾·隆伯格(Carl Luenburg)也得出了類似的結(jié)構(gòu)，但他是從系統(tǒng)穩(wěn)定性角度出發(fā)的，用極點(diǎn)配置的辦法來決定校正因子，并不直接考慮測(cè)量噪聲和系統(tǒng)噪聲的問題。

同樣的結(jié)構(gòu)大量用于各種“預(yù)測(cè)－校正”模型結(jié)構(gòu)，在工業(yè)上也得到很多應(yīng)用。比如聚合反應(yīng)器的分子重量分布可以用反應(yīng)器的溫度、進(jìn)料配比、催化劑等來間接計(jì)算，但不夠精確，也無法把林林總總的無法測(cè)量的干擾因素統(tǒng)統(tǒng)包括進(jìn)數(shù)學(xué)模型里。這時(shí)用定時(shí)采樣、中心分析室測(cè)定的真實(shí)值來定期與模型估計(jì)值相比較，計(jì)入校正因子(業(yè)內(nèi)也稱為“信任因子”，代表對(duì)模型計(jì)算和分析結(jié)果的相對(duì)信任程度)后，就可以結(jié)合數(shù)學(xué)模型及時(shí)的特點(diǎn)和分析結(jié)果精確的特點(diǎn)，滿足實(shí)時(shí)控制的要求，這或許可以算作簡(jiǎn)易的卡爾曼濾波器。

卡爾曼濾波器最早的應(yīng)用還是在雷達(dá)上。所謂邊掃描邊跟蹤，就是用卡爾曼濾波器根據(jù)飛機(jī)的動(dòng)態(tài)模型估計(jì)敵機(jī)的位置，再由雷達(dá)的間隙掃描結(jié)果來實(shí)際校正。實(shí)際應(yīng)用中還有一個(gè)典型的問題：有時(shí)候，對(duì)同一個(gè)變量可以有好幾個(gè)測(cè)量值可用，比如有的比較間接而且不甚精確，但很快捷；有的是直接測(cè)量，很精確但有很大的滯后，這時(shí)可以用卡爾曼濾波器把不同來源的數(shù)據(jù)按不同的信噪比加權(quán)“整合”起來，也算是簡(jiǎn)化版的“信息融合”。關(guān)于信息融合，后面還會(huì)更多地談到。

除了卡爾曼濾波器外，卡爾曼的理論在實(shí)際中用得不多，但是卡爾曼建立了一個(gè)出色的理論框架，對(duì)理解和研究控制問題有極大的作用。

順便說一句，卡爾曼的理論基本局限于線形系統(tǒng)，也就是說，十塊大洋買一袋米，二十塊大洋就買兩袋米，都是成比例的。實(shí)際系統(tǒng)中有很多非線性的問題，兩千塊大洋還能買兩百袋米，但兩千萬大洋就要看米倉有沒有貨了，不是錢越多，買的米越多，有一個(gè)“飽和”的問題。另一方面，要是米倉有足夠的貨，兩千萬大洋的集團(tuán)購買力強(qiáng)，或許就可以討價(jià)還價(jià)出一個(gè)折扣價(jià)，買三百萬袋米了。這些只是非線性的簡(jiǎn)單例子。所有偏離線性的問題都是非線性的。非線性的問題研究起來要復(fù)雜得多。實(shí)際系統(tǒng)還有其他特性，有的是所謂時(shí)變系統(tǒng)，像宇宙火箭，其重量隨時(shí)間和燃料的消耗而變，系統(tǒng)特性當(dāng)然也就變了。很多問題都是多變量的，像汽車轉(zhuǎn)彎，不光方向盤的轉(zhuǎn)動(dòng)是一個(gè)輸入，加速和制動(dòng)也是輸入變量。狀態(tài)空間的理論在數(shù)學(xué)表述上為線性、非線性、單變量、多變量、時(shí)變、時(shí)不變系統(tǒng)提供了一個(gè)統(tǒng)一的框架，這是卡爾曼最大的貢獻(xiàn)。

在實(shí)用中，可以把非線性系統(tǒng)按當(dāng)前條件用泰勒級(jí)數(shù)展開，取線性項(xiàng)作為近似，這樣又可以把卡爾曼的經(jīng)典線性理論用上了。在實(shí)際使用中，隨當(dāng)前條件的漂移，重新計(jì)算近似的線性項(xiàng)，與時(shí)俱進(jìn)，這就是簡(jiǎn)單的自適應(yīng)卡爾曼濾波，也叫作增廣卡爾曼濾波。不過，其是否有效取決于很多因素，本來就接近線性的容易成功，但這也不需要費(fèi)自適應(yīng)這個(gè)事，鎖定一個(gè)近似線性項(xiàng)就差不多了；高度本質(zhì)非線性的就比較難，但這恰恰是需要自適應(yīng)的地方。沒辦法，世界上的事情常常就是這么擰：好做的不需要，難做的做不了。

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作者：[加]晨楓