傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換背后的基本思想
傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換背后的直覺是相同的：任何函數(shù)都可以寫成正弦函數(shù)之和。
這個(gè)想法如此簡單，卻又極其深刻。在高中課程中大家了解了余弦和正弦，它們將直角三角形的角度與兩條邊長之比聯(lián)系起來。另一種理解方式是，余弦和正弦分別是繞單位圓移動(dòng)的點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)。它們是人們能想到的最簡單的周期函數(shù)之一。
正弦和余弦函數(shù)圖
余弦和正弦作為繞單位圓運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的坐標(biāo)由這兩個(gè)函數(shù)組成的和可以表示任何數(shù)學(xué)函數(shù)，這一事實(shí)至少讓人瞠目結(jié)舌。
但是，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換有什么區(qū)別？傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換的區(qū)別在于，傅立葉級(jí)數(shù)用于將周期函數(shù)分解為正弦和余弦之和，而傅立葉變換則用于非周期函數(shù)。
現(xiàn)在讓我們來看看這兩種方法分別是如何實(shí)現(xiàn)這一目的的。
傅立葉級(jí)數(shù)
正如我們所說，傅里葉級(jí)數(shù)用于周期函數(shù)。作為快速提示，如果以下條件成立，則稱函數(shù)f(t)為周期函數(shù)，基本周期為T：f(t-T)=ft=f(t+T)。簡單地說，這意味著函數(shù)以長度為T的固定間隔重復(fù)其值。
周期函數(shù)舉例
最后，我們將周期函數(shù)的基頻定義為1/T，即基頻周期的倒數(shù)。如果周期告訴我們函數(shù)重復(fù)的頻率，那么頻率則告訴我們每單位時(shí)間(或函數(shù)所依賴的任何其他單位)有多少次重復(fù)。
現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了定義傅立葉級(jí)數(shù)所需的一切。
傅里葉級(jí)數(shù)是正弦函數(shù)的無限加權(quán)和，每個(gè)正弦函數(shù)的頻率都是原始周期函數(shù)基頻的整數(shù)倍(1/T)。
傅立葉級(jí)數(shù)的公式如下：
周期函數(shù)g(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開
初看起來有點(diǎn)復(fù)雜，讓我們來分解一下。
①細(xì)分
我們從基本周期為T的周期函數(shù)g(t)開始。一個(gè)是余弦和，另一個(gè)是正弦和。這兩個(gè)和都是加權(quán)的，簡單地說，就是它們所包含的每個(gè)余弦和正弦都有一個(gè)系數(shù)。在我們的例子中，這些系數(shù)分別用符號(hào)αm和bn表示。下標(biāo)字母m和n是和的計(jì)數(shù)變量。因此，當(dāng)m變?yōu)?、2、3等時(shí)，每個(gè)余弦的系數(shù)就會(huì)從α1變?yōu)棣?，依此類推。
最后，在三角函數(shù)(余弦和正弦的另一個(gè)名稱)的內(nèi)部，我們發(fā)現(xiàn)了自變量t(也是初始函數(shù)g(t)的自變量)、常數(shù)2π(由于與對(duì)稱性有關(guān)的原因而存在，但對(duì)本文并不重要)以及分母中的基本周期T。您可能已經(jīng)注意到，我們可以用基頻f代替上式中的比率1/T，以避免使用分?jǐn)?shù)。
我們?cè)谌呛瘮?shù)中遇到的最后一個(gè)符號(hào)是每個(gè)和的計(jì)數(shù)變量，余弦為m，正弦為n。它的作用是使無限和中的每個(gè)余弦和正弦具有不同的頻率。不過，這些頻率并非任意頻率。它們是初始函數(shù)g(t)頻率的多個(gè)整數(shù)，即f=1/T。頻率以這種方式相關(guān)的正弦被稱為諧波相關(guān)。
計(jì)算系數(shù)αm和bn的公式如下。由于它們對(duì)于我們的理解沒有什么幫助，我們就不多說了。
傅立葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)形式的系數(shù)
我們完成了！你現(xiàn)在知道如何將任何周期函數(shù)展開為余弦和正弦之和了。
傅立葉級(jí)數(shù)的替代形式(可選)
在開始學(xué)習(xí)傅里葉變換之前，大家還可了解另一種表示傅里葉級(jí)數(shù)的方法，但卻是等價(jià)的。具體如下：
傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式
雖然初看起來與我們上面討論的三角函數(shù)形式有很大不同，但實(shí)際上是等價(jià)的。我們所做的就是利用歐拉公式(它將余弦和正弦與復(fù)指數(shù)聯(lián)系起來)，以更簡潔的形式重寫傅里葉級(jí)數(shù)。現(xiàn)在，我們只有一個(gè)和，而不是兩個(gè)和。
傅立葉變換
如果您已經(jīng)理解了有關(guān)傅里葉級(jí)數(shù)的所有內(nèi)容，那么傅里葉變換就會(huì)變得非常簡單。這次我們關(guān)注的是非周期函數(shù)。傅立葉變換的公式如下：
傅立葉變換的重要性
傅立葉變換的結(jié)果是頻率的函數(shù)。請(qǐng)記住，希臘字母歐米茄“ω”用來表示角頻率，它是乘積2πf的別稱。當(dāng)初始函數(shù)f(t)是一個(gè)時(shí)間函數(shù)時(shí)，傅里葉變換給出了該函數(shù)的頻率內(nèi)容。摘自維基百科的一句話：時(shí)間函數(shù)的傅里葉變換是頻率的復(fù)值函數(shù)，其幅值(絕對(duì)值)代表原始函數(shù)中該頻率的量，其參數(shù)是該頻率中基本正弦波的相位偏移。傅里葉變換并不局限于時(shí)間函數(shù)，但原始函數(shù)的域通常被稱為時(shí)域。
我們可以利用反傅里葉變換找回初始函數(shù)：
傅里葉變換和傅里葉反變換
①細(xì)分
讓我們比較一下反傅里葉變換和傅里葉級(jí)數(shù)。
首先，我們使用復(fù)指數(shù)來表示正弦函數(shù)，而不是使用余弦函數(shù)和正弦函數(shù)(這會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)積分)，這樣會(huì)更加簡潔。積分前的系數(shù)1/2π是為了對(duì)稱的目的。
我們馬上會(huì)注意到的另一件重要事情是，我們現(xiàn)在有了一個(gè)積分，而不是離散的“西格瑪 ”和。請(qǐng)記住，積分本身也是和，唯一不同的是，在積分下求和的量是連續(xù)的，而不是離散的。由于初始函數(shù)f(t)現(xiàn)在是非周期的，我們需要所有可能的頻率(從負(fù)無窮到正無窮)來表示它。在傅里葉級(jí)數(shù)的情況下，我們只使用T的整數(shù)倍。由于我們現(xiàn)在沒有基本周期T，我們不得不使用所有的T。
至于復(fù)指數(shù)的系數(shù)，我們可以得到該函數(shù)在每個(gè)可能頻率ω下的傅里葉變換值。正如您所看到的，從傅里葉級(jí)數(shù)的概念到反傅里葉變換的概念之間存在著明顯的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。
結(jié)束語
正如泰勒級(jí)數(shù)將函數(shù)分解為單項(xiàng)式的無限加權(quán)和一樣，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換幫助我們將周期函數(shù)表示為正弦波的加權(quán)和。正弦波是美妙的函數(shù)，在數(shù)學(xué)意義上很容易操作。如果我們知道一個(gè)系統(tǒng)(可以是帶彈簧的經(jīng)典系統(tǒng)，也可以是處理信號(hào)的系統(tǒng)或其他任何系統(tǒng))對(duì)正弦波輸入的響應(yīng)，那么我們就可以利用上述思想將任何其他輸入表示為正弦波之和。這樣，分析的很大一部分就已經(jīng)完成了，數(shù)學(xué)也變得簡單多了。因此，傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換在電子工程、儀器儀表、物理學(xué)和生物學(xué)等所有科學(xué)領(lǐng)域都有大量應(yīng)用。
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