理解Lambda整定方法推導(dǎo)的內(nèi)容需要掌握拉普拉斯變換和傳遞函數(shù)等控制領(lǐng)域相關(guān)知識，這部分知識內(nèi)容超過了本文的范疇，本文直接使用了這些知識。

Lambda整定方法的推導(dǎo)使用了分析設(shè)計方法，基于附圖1的簡化控制框圖。


圖1  簡化的控制框圖

主通道閉環(huán)傳遞函數(shù)(公式1)：


控制器傳遞函數(shù)(公式2)：


1、自衡對象Lambda整定方法推導(dǎo)
被控對象傳遞函數(shù)(公式3)：


閉環(huán)控制不能消除純滯后時間，所以設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)仍有不變的純滯后時間。閉環(huán)時間常數(shù)λ表示設(shè)定值階躍變化時過程的響應(yīng)速度。期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)(公式4)：


將公式4代入公式2，得公式5和公式6：




將公式3代入公式6，得公式7：


對公式7中的純滯后時間使用一階泰勒展開近似，得公式8、公式9：

 

 
故得公式10：


從正文我們知道，即使被控對象并不是一階純滯后對象，仍可以通過在響應(yīng)曲線中獲得一階純滯后控制模型參數(shù)，得到可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制的PID參數(shù)，而且λ仍可以反映閉環(huán)控制性能的快慢并遵循λ≥τ。

下面分析λ的選擇原則分析。

使用Lambda整定公式后的閉環(huán)傳遞函數(shù)為公式11：


對分母純滯后進(jìn)行一階Padé近似得公式12：


閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為公式13：


當(dāng)λ=τ，閉環(huán)傳遞函數(shù)為公式14：


典型二階系統(tǒng)為公式15：


不同ξ時二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線如附圖2所示。公式14對應(yīng)的參數(shù)得公式16和公式17：





圖2 不同ξ時二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

所以當(dāng)λ=τ，閉環(huán)的設(shè)定值跟蹤會發(fā)生超調(diào)。此時閉環(huán)傳遞函數(shù)并不是期望的一階純滯后響應(yīng)，這是純滯后的近似造成的，這也是Lambda整定方法推薦的最強(qiáng)控制作用。同理，當(dāng)λ=2τ時，閉環(huán)設(shè)定值跟蹤不振蕩。

2、積分對象Lambda整定方法推導(dǎo)
被控對象可以用積分純滯后對象描述，傳遞函數(shù)為公式18：

 
閉環(huán)控制不能消除純滯后時間，所以設(shè)閉環(huán)傳遞函數(shù)仍有不變的純滯后時間。閉環(huán)時間常數(shù)λ表示設(shè)定值階躍變化時過程的響應(yīng)速度。期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)為公式19：

 
將閉環(huán)傳遞函數(shù)公式19代入方程式2，得公式20和公式21：




將模型公式18代入公式21，得公式22：


對純滯后使用一階泰勒展開近似，得公式23：

PID控制器傳遞函數(shù)近似為公式24：


對積分純滯后對象使用純比例控制就能滿足主通道的控制要求，得公式25：


積分對象的比例增益計算公式和自衡對象類似，λ反映了閉環(huán)控制性能的快慢。λ的選擇依據(jù)和自衡對象的推導(dǎo)過程一樣，這里不再贅述。所以也有結(jié)論：當(dāng)λ=τ時，閉環(huán)的設(shè)定值跟蹤會發(fā)生超調(diào)。這也是Lambda整定方法推薦的最強(qiáng)控制作用。同理當(dāng)λ=2τ時，閉環(huán)設(shè)定值跟蹤不振蕩。

3、積分對象純比例控制
實(shí)際情況中，干擾可能具有和被控對象一樣的積分特性。例如水箱或儲罐的進(jìn)出流量對液位都有積分特性。如圖3所示。


圖3  積分對象的純比例控制

擾動到過程變量的閉環(huán)傳遞函數(shù)為公式26和公式27：



此時對純積分對象的擾動通道而言，干擾會導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生余差。隨著比例作用增強(qiáng)，余差逐步減小。

即使被控對象是積分對象，考慮到擾動的復(fù)雜性，為了消除余差，也推薦使用比例積分控制而不是純比例控制。

關(guān)鍵是積分時間如何設(shè)置才能既避免振蕩，又能消除余差。當(dāng)然積分時間太大不會振蕩，但是消除余差的能力會比較弱。

4、積分對象比例積分控制
 圖4中針對積分對象使用比例積分控制。

 
圖4  積分對象比例積分控制

傳遞函數(shù)為公式28~公式30：


閉環(huán)傳遞函數(shù)的兩個極點(diǎn)位置決定了被控對象是否振蕩。根據(jù)韋達(dá)定理，極點(diǎn)的位置取決于根的情況由判別式(△=b2-4ac)決定，當(dāng)判別式大于等于0方程式有兩個實(shí)根時，被控對象階躍響應(yīng)不振蕩，否則方程式有兩個共軛虛根，被控對象階躍響應(yīng)振蕩，得公式31和公式32。



對純積分對象而言，當(dāng)使用比例積分控制時，Kc或者TI足夠大使得兩者的乘積大于某個值，則積分對象比例積分控制的閉環(huán)系統(tǒng)都不會振蕩。當(dāng)比例增益減小時，積分時間要加大才能保證閉環(huán)系統(tǒng)不振蕩，當(dāng)比例增益增加時，積分時間即使適當(dāng)減小閉環(huán)系統(tǒng)也不會振蕩。這是積分對象和自衡對象的顯著區(qū)別。但是純積分對象的閉環(huán)響應(yīng)無論如何都會出現(xiàn)超調(diào)，這個超調(diào)是由閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)造成的。

推薦的不振蕩積分時間為公式33：


基于上面的分析，積分對象Lambda整定方法推薦參數(shù)為公式34：


為了克服積分對象純比例控制有余差而引入積分作用后的Lambda整定方法，是對理論方法的工程化處理。工程化處理后的積分對象Lambda整定方法中λ仍然可以反映閉環(huán)響應(yīng)速度，但是實(shí)際的閉環(huán)響應(yīng)就不是期望的一階純滯后響應(yīng)，而是始終都有超調(diào)的響應(yīng)。