每一個(gè)控制系統(tǒng)的用戶/設(shè)計(jì)人員，都經(jīng)常會(huì)被問(wèn)到同一個(gè)問(wèn)題：哪種控制方法最好?，F(xiàn)在，比幾十年前有了更多的選擇，控制方法的問(wèn)題尤為重要。很久以前，“黃金”解決方案(實(shí)際上是唯一的)是比例-積分-微分(PID)控制器。雖然PID控制本身沒(méi)有什么問(wèn)題，但實(shí)際存在的限制使其它控制方法在許多應(yīng)用中更受歡迎。現(xiàn)在，還有哪些控制方法可供選擇？
除了經(jīng)典的PID控制外，本文還研究了最優(yōu)控制、模糊控制和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(或基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制)。在工廠應(yīng)用的受控系統(tǒng)分析中，可以看到經(jīng)典PID控制器的局限性。雖然可以有很多應(yīng)用領(lǐng)域，但本文分析聚焦于位置伺服機(jī)構(gòu)，此類裝置廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)器人、自動(dòng)駕駛車輛和許多其它(不僅是在工業(yè)領(lǐng)域)應(yīng)用。
1、位置伺服系統(tǒng)識(shí)別
如果受控系統(tǒng)是基于恒定勵(lì)磁(例如永磁體)的直流電機(jī)的伺服機(jī)構(gòu)，則可以通過(guò)簡(jiǎn)化的傳遞函數(shù)來(lái)描述，在s域中電壓的角位移為：
其中：K代表電機(jī)扭矩常數(shù)；T代表電機(jī)的機(jī)械參數(shù)：J/B，其中J是包括負(fù)載在內(nèi)的總慣性，s表示電機(jī)阻尼；Ti代表積分常數(shù)(由電機(jī)轉(zhuǎn)速和傳動(dòng)比確定)。
上面的傳遞函數(shù)代表與積分器組合的一階系統(tǒng)。理論上，還有另一個(gè)一階、低通濾波器，其時(shí)間常數(shù)等于電機(jī)繞組電感和電阻的比值；這個(gè)時(shí)間常數(shù)明顯小于主時(shí)間常數(shù)T，因此不必考慮它。
如果您是電機(jī)用戶，而不是電機(jī)設(shè)計(jì)師，那么通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量其在開環(huán)中的響應(yīng)來(lái)找到(主)時(shí)間常數(shù)可能會(huì)更簡(jiǎn)單。為此，向伺服系統(tǒng)施加一定的驅(qū)動(dòng)變量(電壓，VIN)，例如，相當(dāng)于最大伺服速度的50%。伺服系統(tǒng)負(fù)載必須是正常工作條件下的滿載。掃描伺服機(jī)構(gòu)的位置響應(yīng)，并在其到達(dá)最大位置之前將其關(guān)閉?？赡墚a(chǎn)生的測(cè)量值如圖1所示。
圖1：控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖展示了開環(huán)伺服系統(tǒng)的響應(yīng)特性
根據(jù)上述特性，并通過(guò)輸入值(例如，對(duì)應(yīng)于最大伺服速度50%的階躍函數(shù)VIN)，確定典型伺服系統(tǒng)的一階非靜態(tài)(積分器與一階滯后相結(jié)合)傳遞函數(shù)的T和Ti常數(shù)。伺服電機(jī)和伺服驅(qū)動(dòng)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)，可以使用下述的各種閉環(huán)控制，包括方程、案例、圖形、表格。
2、如何應(yīng)用PID控制器？
PID補(bǔ)償是最常見(jiàn)的閉環(huán)控制形式之一。為什么它如此受歡迎？在大多數(shù)應(yīng)用中，受控過(guò)程可以通過(guò)一階或二階傳遞函數(shù)進(jìn)行建模。PID控制器可以消除或至少顯著補(bǔ)償傳遞函數(shù)的兩個(gè)極點(diǎn)。PID控制器在s域中的傳遞函數(shù)(U(s))/(E(s))可以表示如下：
現(xiàn)在，讓我們假設(shè)一個(gè)受控系統(tǒng)，它可以用一階非靜態(tài)傳遞函數(shù)來(lái)近似表示：
控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)(Y(s))/(E(s))，等于
為什么使用PD而不是PID？首先，請(qǐng)注意，在完整的PID控制器中，積分部分是缺失的。為什么？因?yàn)榉e分器已經(jīng)存在于受控的伺服系統(tǒng)中。在最佳調(diào)諧的控制系統(tǒng)中，比率KD/KP必須與τ1時(shí)間常數(shù)相匹配，因此開環(huán)傳遞函數(shù)將減小到：(KPK)/(sτ2)。理想調(diào)諧PD控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù) (Y(s))/(R(s))，等于：
這對(duì)應(yīng)于具有時(shí)間常數(shù)τ的單極傳遞函數(shù)，相當(dāng)于τ2/(KPK)，其中τ2是積分時(shí)間常數(shù)，KP是控制器的比例常數(shù)，K是受控系統(tǒng)的增益。然而，如果通過(guò)使用如圖1所示的響應(yīng)特性找到時(shí)間常數(shù)，則增益(即常數(shù)K)值變?yōu)?.0。則閉環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)間常數(shù)τ等于τ2/KP。這非常好，因?yàn)橥ㄟ^(guò)使ΚP足夠大，可以從閉環(huán)控制系統(tǒng)獲得更快的時(shí)間響應(yīng)。實(shí)際上，“足夠大”可以提供5到10倍的響應(yīng)速度。KP值越高，反應(yīng)越不穩(wěn)定。記住，在近似的系統(tǒng)參數(shù)中，實(shí)際值肯定會(huì)不同。
然而，這種最佳調(diào)諧的P(I)D控制器有其缺點(diǎn)。觀察P(I)D控制器的輸出(驅(qū)動(dòng))變量：一開始它幾乎達(dá)到極限值，然后迅速下降，但在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)，仍遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于這種受控系統(tǒng)(伺服機(jī)構(gòu))所能承受的水平。想象一下，伺服電機(jī)的運(yùn)行電壓為24V，最初獲得的電壓會(huì)高達(dá)數(shù)千伏，隨后穩(wěn)定在數(shù)百伏。沒(méi)有控制器能夠驅(qū)動(dòng)如此高的電壓，即使能驅(qū)動(dòng)，電機(jī)也無(wú)法承受如此高的壓力。因此，在控制器中添加限制器，可確保驅(qū)動(dòng)變量不會(huì)超過(guò)受控系統(tǒng)(在這種情況下為直流電機(jī))可接受的最大值。伺服機(jī)構(gòu)的最終PID控制配置如圖2所示。
圖2：控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖展示了位置伺服系統(tǒng)的PID控制
在本文的最后，會(huì)比較PID控制器與其它控制器的性能。具有無(wú)限驅(qū)動(dòng)變量的最佳調(diào)諧PD控制器(即理想控制器)，其輸出特性如圖8中黃色線所示；實(shí)際輸出(驅(qū)動(dòng)變量限于最大可接受值)則以紅色線表示。
3、應(yīng)用時(shí)間最優(yōu)控制
幾十年來(lái)，最優(yōu)控制一直是廣泛研究的主題。關(guān)于最優(yōu)控制的一些基本觀點(diǎn)值得回顧，我們可以用一個(gè)例子來(lái)更好地理解時(shí)間最優(yōu)控制。
假設(shè)一個(gè)帶有直流電機(jī)的常用電動(dòng)伺服機(jī)構(gòu)。手頭的任務(wù)是控制伺服，使其在最短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)新的參考點(diǎn)。如果必須應(yīng)用實(shí)際驅(qū)動(dòng)變量，優(yōu)化的PID控制器將無(wú)法實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)。直覺(jué)反應(yīng)是向直流電機(jī)施加最大可接受電壓，并讓電機(jī)全速前進(jìn)。
然后，在某一時(shí)間點(diǎn)改變電壓極性，使電機(jī)開始以最大可能的速度減速。稍后，當(dāng)電機(jī)速度為零時(shí)，關(guān)閉電壓。如果電壓極性在合適的時(shí)點(diǎn)改變，那么，在電機(jī)停止運(yùn)行的瞬間，伺服將準(zhǔn)確地停在所需的位置。這被稱為最優(yōu)控制。在這種情況下，因?yàn)闀r(shí)間是該最優(yōu)控制的標(biāo)準(zhǔn)，所以這種控制被稱為時(shí)間最優(yōu)控制。
4、查找開關(guān)曲線的形狀
圖3展示了在狀態(tài)空間中的時(shí)間最優(yōu)控制過(guò)程，在這種情況下，狀態(tài)空間是二維空間(區(qū)域)；一個(gè)維度是輸出變量，另一個(gè)維度則是其(時(shí)間的)導(dǎo)數(shù)。在應(yīng)用新參考值時(shí)，輸出變量沿水平軸移動(dòng)，因此它代表調(diào)節(jié)誤差(err)，即參考值與實(shí)際輸出值之間的差值。同時(shí)在t0時(shí)刻，向直流電機(jī)施加最大電壓。伺服離開其初始位置P0，并開始加速。在時(shí)間點(diǎn)t1，控制器改變電壓極性，電機(jī)速度很快開始下降。在時(shí)間點(diǎn)t2，電機(jī)速度變?yōu)榱悴⑶疫_(dá)到期望位置P2，驅(qū)動(dòng)變量電壓被關(guān)閉。雖然這看起來(lái)很簡(jiǎn)單，但獲得開關(guān)曲線的形狀并不是那么簡(jiǎn)單。
圖3：控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖展示了狀態(tài)空間中的時(shí)間最優(yōu)控制
如果受控系統(tǒng)是具有簡(jiǎn)化傳遞函數(shù)的伺服機(jī)構(gòu)，則s域中電壓的角位移為：
那么一個(gè)完整的、時(shí)間最優(yōu)的控制系統(tǒng)可以用圖4所示的框圖表示。
圖4：控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖展示了伺服機(jī)構(gòu)的時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)
該控制方案與PID控制完全不同。這是一種非線性控制，因?yàn)榈诙€(gè)非線性部分N2代表的是繼電器：提供驅(qū)動(dòng)變量±U值，所以這種控制被稱為開關(guān)控制。N1是開關(guān)曲線的第一個(gè)非線性部分，調(diào)節(jié)誤差E的“sqrt”平方根函數(shù)，提供了相當(dāng)合理的結(jié)果。在實(shí)踐中，總是很難找到精確的開關(guān)曲線，因此，控制器可能一直在其最大值和最小值之間切換驅(qū)動(dòng)電壓。為了避免這種情況的發(fā)生，需要為繼電器增加死區(qū)。
在本文的最后，讓我們看看與其它類型的控制器相比，這種時(shí)間最優(yōu)控制器的性能如何。其輸出變量函數(shù)以圖8中亮藍(lán)色線表示。
5、如何應(yīng)用模糊控制？
模糊控制是另一種非線性控制方法，對(duì)于難以分析的受控系統(tǒng)，或在設(shè)計(jì)時(shí)動(dòng)態(tài)行為未知的受控系統(tǒng)，它是非常好的解決方案。模糊控制可以與“次優(yōu)”時(shí)間最優(yōu)控制相比較(它可以提供比最優(yōu)結(jié)果較差的結(jié)果)，盡管它們?nèi)匀豢梢允欠浅：玫?。在這種具有位置伺服機(jī)構(gòu)控制的特殊情況下，可以采用圖5中的控制方案(圖5)進(jìn)行模糊控制。
圖5：控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)圖展示了伺服機(jī)構(gòu)的模糊控制系統(tǒng)。
模糊控制可以看作是模糊邏輯的擴(kuò)展或修改。第一階段，模糊邏輯(在一個(gè)被稱為模糊化的過(guò)程中)將“清晰”的輸入變量轉(zhuǎn)換為“模糊”的集合。第二階段，它處理這些模糊集。最后，在一個(gè)被稱為去模糊化的過(guò)程中，將處理后的模糊集轉(zhuǎn)換為清晰的輸出變量。
對(duì)于輸入變量的模糊化，例如，選擇一組lambda形狀_/_的5個(gè)成員函數(shù)。為了使控制過(guò)程更好(更精細(xì))，在本文案例中使用了7個(gè)成員函數(shù)。它們涵蓋了調(diào)節(jié)誤差、誤差及其導(dǎo)數(shù)和狀態(tài)變量，這些變量值處于-1000到+1000之間。它們可以被稱為：高負(fù)(HN)，中等負(fù)(MN)，低負(fù)(LN)，小(S)，低正(LP)，中等正(MP)和高正(LP)。輸出(驅(qū)動(dòng))變量模糊化，使用了7個(gè)類似的級(jí)別：全負(fù)(FN)，中等負(fù)(MN)，低負(fù)(LN)，零(Z)，低正(LP)，中等正(MP)和全正(FP)。
圖6：在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，參考模糊控制知識(shí)庫(kù)很有幫助
處理模糊集是模糊控制最關(guān)鍵的階段。它由模糊控制知識(shí)庫(kù)“控制”。圖6展示了適用的知識(shí)庫(kù)。注意err和der輸入變量是如何量化的。它們的分布函數(shù)不是等距分布的；err成員函數(shù)被更多地“推向”中心(S)，而der成員函數(shù)則被更多地推向最高值。為什么這種安排更好？檢查知識(shí)庫(kù)中的輸出變量分布提供了答案?？疾炝?Z)級(jí)。它們的配置為：緊密地跟隨誤差的平方根函數(shù)err的輸出，這是可能是對(duì)時(shí)間最優(yōu)控制中使用的開關(guān)曲線的最佳仿真。接下來(lái)，看看與其它控制器相比，模糊控制器的性能如何，其輸出變量的形狀以圖8中橙色線表示。
6、應(yīng)用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制
在控制系統(tǒng)中使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)有無(wú)數(shù)種可能性。其中，很多使用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的受控系統(tǒng)(工廠)模型，或?qū)ζ淠鎰?dòng)態(tài)進(jìn)行建模，與經(jīng)典PID控制器相結(jié)合，有助于創(chuàng)建自適應(yīng)和其它更復(fù)雜的控制系統(tǒng)。
通過(guò)訓(xùn)練這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，模擬位置伺服系統(tǒng)的開關(guān)曲線可以嘗試一種不同的方法。正如之前所了解的，通過(guò)使用時(shí)間最優(yōu)控制可以實(shí)現(xiàn)最快速的伺服機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)。開關(guān)曲線最關(guān)鍵的一個(gè)方面，是使用調(diào)節(jié)誤差的平方根函數(shù)。甚至是模糊控制器，也被“調(diào)諧”以模擬該平方根函數(shù)。
然而，由于實(shí)際開關(guān)曲線仍然可以與sqrt()函數(shù)的近似值不同。有沒(méi)有辦法找到位置伺服機(jī)構(gòu)的實(shí)際開關(guān)曲線？答案是肯定的。可以找到位置伺服機(jī)構(gòu)的實(shí)際開關(guān)曲線，“訓(xùn)練”ANN記住它并按需生成它。更進(jìn)一步，可以訓(xùn)練ANN來(lái)接管整個(gè)開關(guān)控制器。
開關(guān)曲線是關(guān)于[err，der]對(duì)值的序列，伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)器對(duì)可施加到電機(jī)的額定(最大)電壓進(jìn)行極性轉(zhuǎn)換。通過(guò)在開環(huán)中運(yùn)行伺服機(jī)構(gòu)(即無(wú)反饋)，測(cè)量并記錄其位置(err)和速度(der)來(lái)查找相應(yīng)的值。
首先，準(zhǔn)備一系列預(yù)期的伺服機(jī)構(gòu)速度(der)值，從最低值到最高值。現(xiàn)在，將正的最大驅(qū)動(dòng)變量(電壓+U)施加到電機(jī)上，并讓其運(yùn)行，直到伺服機(jī)構(gòu)達(dá)到該系列中的第一個(gè)預(yù)期der值。重要提示：記錄與P1相同時(shí)刻的伺服位置，同時(shí)將執(zhí)行變量轉(zhuǎn)換為-U值。當(dāng)der降至零時(shí)，關(guān)閉電壓并將當(dāng)前位置記錄為P2。該過(guò)程提供了第一個(gè)開關(guān)曲線點(diǎn)的第一對(duì)[err，der]坐標(biāo)(其中err=P2–P1)。當(dāng)然，伺服機(jī)構(gòu)必須完全按照預(yù)期使用的方式滿載運(yùn)行。
[err，der]坐標(biāo)序列表示開關(guān)曲線點(diǎn)。為了獲得最佳結(jié)果，沿der軸均勻分布大約50個(gè)坐標(biāo)(對(duì))。然后訓(xùn)練一個(gè)合適的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使用這些開關(guān)點(diǎn)將執(zhí)行變量傳送到伺服機(jī)構(gòu)。即使是最簡(jiǎn)單的具有一個(gè)隱藏層和大約12個(gè)節(jié)點(diǎn)的ANN也可以實(shí)現(xiàn)這種功能。
圖7展示了一個(gè)輸出值表，可用于訓(xùn)練ANN控制器。在捕獲開關(guān)曲線點(diǎn)之后，需要離線訓(xùn)練ANN控制器，即不直接在物理控制系統(tǒng)實(shí)體上進(jìn)行訓(xùn)練。從捕獲的坐標(biāo)序列的底部(或頂部)開始，對(duì)于每個(gè)單獨(dú)的der輸入，您需要生成多個(gè)err值(從-max到+max)，并向[err，der]坐標(biāo)的每個(gè)組合提供(到ANN輸出)特定的輸出值。開關(guān)曲線的所有輸出值對(duì)應(yīng)負(fù)的最大驅(qū)動(dòng)值；開關(guān)曲線右側(cè)的所有輸出值對(duì)應(yīng)為正的最大值。誤差坐標(biāo)離開關(guān)曲線越遠(yuǎn)，需要提供的±U值就越少，因?yàn)檩敵銮€保持平坦。
圖7：這個(gè)簡(jiǎn)單的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)表，有助于 ANN 控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。
此訓(xùn)練數(shù)據(jù)表與模糊系統(tǒng)的知識(shí)庫(kù)非常相似。起初，只使用狀態(tài)空間的上半部分來(lái)訓(xùn)練ANN控制器。當(dāng)伺服必須沿相反方向移動(dòng)時(shí)，ANN控制器將僅交換輸出值。然而，如果伺服系統(tǒng)在兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方向上的行為不相同，則必須在整個(gè)狀態(tài)空間內(nèi)，對(duì)ANN控制器進(jìn)行行為訓(xùn)練。基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)如何與其它系統(tǒng)競(jìng)爭(zhēng)？可查看其輸出變量的形狀，如圖8中白色線展示。
7、四種控制方法的比較
使用Python的屏幕截圖(圖8)展示了模擬伺服機(jī)構(gòu)及其控制器的結(jié)果。伺服機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)近似為1/((1+s100)s200)，其中時(shí)間常數(shù)以樣本數(shù)表示。階躍函數(shù)(期望的伺服系統(tǒng)位置)是從0到800(其中1000是期望位置和驅(qū)動(dòng)變量的最大值)生成的，在1000個(gè)樣本之后，它從800下降到400。輸入階躍函數(shù)在圖8中以綠色線表示。
圖8還展示了各個(gè)控制系統(tǒng)的運(yùn)行情況。第一個(gè)是最佳調(diào)諧的PD控制器，它對(duì)階躍函數(shù)做出即時(shí)反應(yīng)。它的KP參數(shù)設(shè)置為5。但這實(shí)際上只是一個(gè)理想的PD控制。這些實(shí)際最佳調(diào)諧PD控制器具有有限驅(qū)動(dòng)變量，其行為如紅色曲線所示。與其它控制器相比，它實(shí)際上是表現(xiàn)最差(最慢)的。然而，如果調(diào)整得當(dāng)，它不會(huì)超調(diào)，這在某些應(yīng)用中可能非常重要。
圖8：此圖比較了不同的控制方法，以幫助確定應(yīng)用的最佳狀態(tài)。包括最優(yōu)控制(藍(lán)色線)、模糊控制(橙色線)、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(白色線)和 PID 控制(黃色和紅色線)。
表現(xiàn)最好(最快)的控制器是基于ANN的控制器(如白色曲線所示)。這并不奇怪；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練，可以模擬精確的開關(guān)曲線，因此它表現(xiàn)為一個(gè)完美的、時(shí)間最優(yōu)的控制系統(tǒng)。
通過(guò)sqrt(e)函數(shù)來(lái)模擬開關(guān)曲線的經(jīng)典時(shí)間最優(yōu)控制器(藍(lán)色線)表現(xiàn)稍差(較慢)。不過(guò)，考慮到其實(shí)施非常簡(jiǎn)單，因此不應(yīng)對(duì)其性能有太多抱怨。
在這種特殊情況下，模糊控制器(橙色線)表現(xiàn)不佳。不過(guò)，它沒(méi)有調(diào)整到最佳性能(僅進(jìn)行了初始調(diào)整以大致模擬開關(guān)曲線)，因此其性能有進(jìn)一步提高的空間。理論上，模糊控制器的性能不應(yīng)比經(jīng)典的時(shí)間最優(yōu)控制器差。
這個(gè)特定案例驗(yàn)證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在工業(yè)控制中的應(yīng)用。然而，如果系統(tǒng)“在運(yùn)行中”改變行為/參數(shù)，則需要一個(gè)更能容忍這種變化的控制器。容差是模糊控制器的亮點(diǎn)。最令人驚訝的發(fā)現(xiàn)之一是：50多年前在大學(xué)里學(xué)習(xí)的經(jīng)典時(shí)間最優(yōu)控制器(基于sqrt()函數(shù))，仍然可以很好地運(yùn)行。
