在自然界中，湍流是一種格外常見(jiàn)的現(xiàn)象，它卻讓許多研究人員頭疼不已。一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直在試圖理解流體與邊界相互作用時(shí)產(chǎn)生的湍流。

現(xiàn)在，一組國(guó)際數(shù)學(xué)家團(tuán)隊(duì)發(fā)表了對(duì)邊界層湍流的完整描述。這項(xiàng)研究綜合了這一領(lǐng)域幾十年來(lái)的研究成果，將經(jīng)驗(yàn)觀測(cè)與描述流體動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的納維爾-斯托克斯方程整合進(jìn)一個(gè)數(shù)學(xué)公式中。論文已于近日發(fā)表在《物理評(píng)論研究》上。



1920年左右，物理學(xué)家西奧多·馮·卡門(Theodore von Kármán)和路德維希·普朗特(Ludwig Prandtl)首次描述了湍流這一現(xiàn)象。他們研究的是所謂的邊界層湍流，就是流體與邊界(比如流體表面、管壁、地球表面等)相互作用時(shí)產(chǎn)生的湍流。

普朗特通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，可以根據(jù)靠近邊界的程度將邊界層劃分為四個(gè)不同的區(qū)域。

黏性層會(huì)在邊界旁形成，湍流在此處會(huì)受到流體厚度的阻尼。接下來(lái)是一個(gè)過(guò)渡的緩沖區(qū)，隨后是慣性區(qū)，湍流在慣性區(qū)會(huì)得到最充分地發(fā)展。最后是尾流，根據(jù)馮·卡門的公式，邊界層流體的流動(dòng)在這里受到邊界影響最小。


流體在邊界層不同部分的平均速度曲線(白)和方差(藍(lán))| 圖片來(lái)源：Birnir et al.

流體在離邊界越遠(yuǎn)的地方流動(dòng)得越快，但其速度變化的方式非常特殊。流體的平均速度會(huì)在黏性層和緩沖區(qū)中增加，然后在慣性區(qū)中轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N以對(duì)數(shù)函數(shù)變化的模式。讓科學(xué)家最無(wú)法理解的便是這個(gè)“對(duì)數(shù)定律”，他們一直嘗試解開(kāi)這種模式的來(lái)源，以及如何用數(shù)學(xué)精確描述它。

除了速度之外，水流的方差，也就是偏離平均速度的水平，也在邊界層的不同區(qū)域表現(xiàn)出了特殊行為模式。這兩個(gè)變量的解釋和推導(dǎo)一直是研究的焦點(diǎn)。

20世紀(jì)70年代，澳大利亞機(jī)械工程師阿爾伯特·艾倫·湯森(Albert Alan Townsend)提出，平均速度曲線的形狀受到附著在邊界上的渦流的影響。這確實(shí)可以解釋曲線在不同層中出現(xiàn)的奇怪形狀，以及對(duì)數(shù)定律背后的物理學(xué)。

時(shí)間快進(jìn)到2010年，伊利諾伊大學(xué)的數(shù)學(xué)家發(fā)布了對(duì)于這些附著渦流的一個(gè)正式描述。這項(xiàng)研究還闡述了這些渦流如何將能量從邊界轉(zhuǎn)移到流體的其余部分。

研究呈現(xiàn)了渦流的一個(gè)完整的層次。較小的渦流為一直延伸到慣性區(qū)的那些較大渦流提供了能量，這也能幫助解釋對(duì)數(shù)定律。


湍流邊界層中的大渦流|圖片來(lái)源：M.GAD-EL-HAK

但在流體中，還存在著一些分離的渦流，它們可以在流體中移動(dòng)。這些分離渦流在邊界層的湍流中也起著重要作用。

在這項(xiàng)新研究中，科學(xué)家主要發(fā)現(xiàn)了推導(dǎo)出這些分離渦流的正式描述。他們驚訝地發(fā)現(xiàn)，分離渦流其實(shí)格外重要，特別是在解釋緩沖區(qū)中的湍流轉(zhuǎn)變時(shí)。想要得到平均速度曲線的精確形狀，就必須在理論中囊括這些分離渦流。

隨后，團(tuán)隊(duì)將所有這些見(jiàn)解結(jié)合在一起，推導(dǎo)出了平均速度和方差的數(shù)學(xué)公式，也就是對(duì)100多年前首次描述的邊界層湍流現(xiàn)象的數(shù)學(xué)闡述。

他們還將公式與計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較，從而驗(yàn)證了他們的結(jié)果。換句話說(shuō)，我們終于有了一個(gè)完整的分析模型來(lái)解釋這個(gè)系統(tǒng)。

有了這個(gè)新的數(shù)學(xué)公式，科學(xué)家和工程師可以調(diào)整不同的參數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)流體的行為。

邊界層湍流出現(xiàn)在從交通運(yùn)輸?shù)綒庀蟮雀鱾€(gè)領(lǐng)域。例如，對(duì)邊界湍流的正確理解有助于提高發(fā)動(dòng)機(jī)的效率，減少污染物，并最大限度地減少各種車輛的阻力。


更好地理解邊界湍流可以揭示地球的急流現(xiàn)象|圖片來(lái)源：NASA

地球大氣也可以被模擬為邊界流。盡管高度很高，但大氣層本質(zhì)上是一層薄薄的運(yùn)動(dòng)空氣，緊貼著地球表面。科學(xué)家或許也能利用這一理論來(lái)理解大氣湍流和急流。

此外，研究分離渦流的行為可以為其他類型湍流的理解提供方向。參與研究的Bj?rn Birnir教授介紹，這特別可以幫助我們深入了解拉格朗日湍流。這一理論可以簡(jiǎn)單理解成在一個(gè)隨水流移動(dòng)的參考系中描述湍流行為。相反，歐拉湍流理論則描述了流體在經(jīng)過(guò)固定參考系時(shí)的運(yùn)動(dòng)。兩者的差別就像一個(gè)是隨水漂流的木筏，另一個(gè)則是固定在水中的橋墩。

附著渦流在移動(dòng)的參考系中會(huì)“消失”，就像在你順流而下時(shí)，水流看起來(lái)好像“消失”了一樣。但分離渦流仍舊存在，并且似乎在拉格朗日湍流中起到了重要作用。團(tuán)隊(duì)目前也正使用這些新工具著重探索拉格朗日湍流理論中的各種細(xì)節(jié)。
作者：Harrison Tasoff|編譯：M?ka