PID的重要性應(yīng)該不需多說(shuō)，在自動(dòng)控制領(lǐng)域的應(yīng)用很廣泛。Jason通過(guò)記錄小明給水桶加水的過(guò)程展示經(jīng)典PID算法過(guò)程，以舉例子的形式給新手理解PID提供多一種思路。

Jason希望通過(guò)鮮活的例子解釋以下五個(gè)概念：
1、簡(jiǎn)單描述何為PID， 為何需要PID，PID 能達(dá)到什么作用
2、理解P(比例環(huán)節(jié))作用：基礎(chǔ)比例環(huán)節(jié)
缺點(diǎn): 產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。
疑問(wèn): 何為穩(wěn)態(tài)誤差 為什么會(huì)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差。
3、理解I(積分環(huán)節(jié))作用：消除穩(wěn)態(tài)誤差。
缺點(diǎn): 增加超調(diào)
疑問(wèn): 積分為何能消除穩(wěn)態(tài)誤差?
4、理解D(微分環(huán)節(jié))作用：加大慣性響應(yīng)速度，減弱超調(diào)趨勢(shì)
疑問(wèn): 為何能減弱超調(diào)
5、理解各個(gè)比例系數(shù)的作用

下面就開(kāi)始進(jìn)入正題。

1、何為PID以及為何需要PID？
以下是PID控制的整體框圖，過(guò)程描述為：設(shè)定一個(gè)輸出目標(biāo)，反饋系統(tǒng)傳回輸出值，如與目標(biāo)不一致，則存在一個(gè)誤差，PID根據(jù)此誤差調(diào)整輸入值，直至輸出達(dá)到設(shè)定值。

疑問(wèn)：那么我們?yōu)槭裁葱枰狿ID？比如我控制溫度，我不能監(jiān)控溫度值，溫度值一到就停止嗎?

這里必須要先說(shuō)下我們的目標(biāo)，因?yàn)槲覀兯械目刂茻o(wú)非就是想輸出能夠達(dá)到我們的設(shè)定，即如果我們?cè)O(shè)定了一個(gè)目標(biāo)溫度值，那么我們想要一個(gè)什么樣的溫度變化呢。

比如設(shè)定目標(biāo)溫度為30℃，目標(biāo)無(wú)非是希望達(dá)到圖1的效果：希望其能夠快速而且沒(méi)有抖動(dòng)的達(dá)到30℃。
 
圖1 PID控制系統(tǒng)輸出的響應(yīng)目標(biāo)
那這樣大家應(yīng)該就明白，如果使用溫度一到就停止的辦法，當(dāng)然如果要求不高可能也行，當(dāng)肯定達(dá)不到圖1這樣的要求，因?yàn)闇囟鹊搅撕笥鄿匾矔?huì)讓溫度繼續(xù)升高，而且溫度自身也會(huì)通過(guò)空氣散熱。總結(jié)：我們需要PID的原因無(wú)非就是普通控制手段沒(méi)有辦法使輸出快速穩(wěn)定的到達(dá)設(shè)定值。

如果你仍對(duì)此感到疑問(wèn)，我們就開(kāi)始用一個(gè)常用的例子來(lái)具體說(shuō)明。

2、從小明給水桶加水的例子弄懂PID
在開(kāi)始前，我們需要將公式搬出：

咋一看，這個(gè)公式挺唬人的。其實(shí)你只要知道微分和積分的基本定義就可以理解。而且最終我們所有的努力也都是能夠理解這個(gè)公式，否則再精妙的比喻也無(wú)法使你真正的明白和使用。

這里我們將其離散化(如果這步驟有些太快的話，后面再加入對(duì)此的解釋)：

公式中Kp為比例常數(shù)，Ki=(Kp×T)/Ti為積分常數(shù)，Kd=(Kp×Td)/T為微分常數(shù)

以下Jason就通過(guò)一個(gè)例子具體展示這個(gè)方程是如何工作的。
①小明接到一個(gè)任務(wù): 有個(gè)水桶，需要時(shí)刻保持1m的高度，目前水桶里有0.2m的水
那么小明采用P(比例)的方法加水：即每次測(cè)量與1m的誤差，并加入與誤差成比例的水量。比如設(shè)Kp=0.5
第一次加水：誤差是1-0.2=0.8m，那么加入水量是Kp×0.8=0.4m；
第二次加水，誤差是1-0.4 =0.6m，那么加入水量是 Kp×0.6=0.3m；
......



我們發(fā)現(xiàn)這太完美了，那么比例環(huán)節(jié)就能夠完美的解決問(wèn)題了，可是等等，在下這個(gè)結(jié)論前，我們看小明的新任務(wù)

②小明的新任務(wù)：有個(gè)水桶，但桶底漏了個(gè)洞，仍需保持1m的高度，目前水桶里有0.2m的水，但每次加水都會(huì)流出0.1m。這個(gè)例子就接近我們實(shí)際工程的例子了，比如電機(jī)摩擦的阻力、損耗。

我們還是來(lái)給小明解決問(wèn)題吧，
方案一仍是使用P(比例控制)U=Kp×e，仍然設(shè)Kp=0.5. 則U=0.5×e，L(最終水位)=本次輸入U(xiǎn)加上上一次水位。
第一次加水：誤差是1-0.2=0.8m，那么加入水量是Kp×0.8=0.4m，最終水位時(shí)是0.4+0.2-0.1=0.5m。
第二次加水：誤差是1-0.5=0.5m，那么加入水量是Kp×0.5=0.25m，最終水位是0.5+0.25-0.1=0.65m
......



我們發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，水位最終在0.8m處穩(wěn)定了，這個(gè)也很好理解，當(dāng)誤差是0.2m時(shí)，加水量時(shí)0.1，每次加入的剛好等于漏掉的。這里就引入了穩(wěn)態(tài)誤差的概念：穩(wěn)態(tài)誤差即當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)時(shí)與目標(biāo)的誤差。

那么我們加大Kp呢，我們發(fā)現(xiàn)誤差變小了；

那我們繼續(xù)增大吧，我們發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)開(kāi)始震蕩了。此處使用excel折線圖，大家可以調(diào)節(jié)參數(shù)觀察變化

結(jié)論: 比例控制引入了穩(wěn)態(tài)誤差，且無(wú)法消除.比例常數(shù)增大可以減小穩(wěn)態(tài)誤差，但如果太大則引起系統(tǒng)震蕩，不穩(wěn)定。

為了消除穩(wěn)態(tài)誤差，方案二：在比例基礎(chǔ)上加入積分，使用PI(比例積分控制)，積分控制就是將歷史誤差全部加起來(lái)乘以積分常數(shù)。

這個(gè)式子什么意思呢，為啥就能消除穩(wěn)態(tài)誤差呢？還是先設(shè)Kp=0.5，Ki=0.3(這個(gè)值我這里是隨意設(shè)置的)
第一次加水：誤差為0.8，比例部分Kp×0.8=0.4m， 積分部分 Ki×[e(1)]=0.24m，加入水量u為0.4+0.24=0.64m，最終水位0.2+0.64-0.1=0.74m
第二次加水：誤差為0.26，比例部分Kp×0.26=0.13m，積分部分Kp×[e(1)+e(2)]=0.318m，加入水量u為0.13+0.318=0.448m。最終水位0.74+0.448-0.1=1.088m



我們發(fā)現(xiàn)，雖然過(guò)程曲折，但是最終可以穩(wěn)定到設(shè)定值了。

如果加大Ki呢？此處使用excel 折線圖，大家可以調(diào)節(jié)參數(shù)觀察變化

結(jié)論:
①只要存在偏差，積分就不停的累計(jì)，直到誤差為0，積分項(xiàng)不再累加，變成一個(gè)常數(shù)，可以抵消穩(wěn)態(tài)誤差。
大家可以看到表2中系統(tǒng)穩(wěn)定后，積分項(xiàng)約是0.1。
②引入積分可以消除穩(wěn)態(tài)誤差，但會(huì)增加超調(diào)，且Ki增大，超調(diào)量也增大。

為了消除超調(diào)，我們引入微分作用。 現(xiàn)在式子變成了：
 
還是先設(shè)Kp=0.5，Ki=0.5，Kd=0.3
第一次加水：誤差為0.8m，比例部分Kp×0.8=0.4m，積分部分Ki×[e(1)]=0.24m，微分部分=0(因?yàn)闆](méi)加水前水位差就是0.8m，加入水量U為0.4+0.4=0.8m，最終水位0.2+0.8-0.1=0.9m
第二次加水：誤差為0.1m，比例部分Kp×0.1=0.5m，積分部分Kp×[e(1)+e(2)]=0.45m，微分部分為Kd×[e(2)-e(1)]=-0.21m，加入水量u為0.5+0.45-0.21=0.29，最終水位0.9+0.29-0.1=1.09m


 
我們發(fā)現(xiàn)對(duì)比上面那張Kp=0.5，Ki=0.5 的圖，這張圖的震蕩減輕了，這正是微分發(fā)生了作用，

大家可以看到表3中當(dāng)?shù)?次誤差為0.1時(shí)，上一次誤差為0.8時(shí)，微分是一個(gè)負(fù)數(shù)，阻止結(jié)果快速的變化。
結(jié)論: 微分能夠減弱超調(diào)趨勢(shì)。

可是，這個(gè)波形還是在震蕩啊，是的，別忘了，這個(gè)值是我隨手設(shè)置的，我們不能指望我們隨便設(shè)一個(gè)值就能使PID完美的工作起來(lái)，如果你自己用excel模擬一下你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，如果Ki，Kd設(shè)置大些，這個(gè)系統(tǒng)會(huì)大幅度震蕩起來(lái)。

因此我們就需要對(duì)Kp，Ki，Kd整定，其實(shí)就是試怎么使輸出達(dá)到圖1的要求。當(dāng)然這個(gè)例子其實(shí)使用PI就可以了，我們這里是為了理解其作用的原理。


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