1、頻率的定義
在這，我們以振動的頻率為例來進(jìn)行說明，因此，解釋頻率之前，我們應(yīng)該對振動的基本概念有所了解。振動是結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在其平穩(wěn)位置來回做往復(fù)運(yùn)動。從廣義上講，表征物體運(yùn)動的物理量作時而增大時而減小的反復(fù)變化，就可以稱這種運(yùn)動為振動。如果變化的物理量是機(jī)械量或力學(xué)量，例如物體的位移、速度、加速度、應(yīng)力及應(yīng)變、噪聲等，這種振動便稱為機(jī)械振動。最簡單的機(jī)械振動是由彈簧-質(zhì)量組成的單自由度系統(tǒng)，如圖1所示，這類單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動可以用正弦或余弦函數(shù)或統(tǒng)稱為諧波函數(shù)來表示，故稱之為簡諧振動。
圖1 單自由度的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)
在圖1所示的簡諧振動的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，假設(shè)位移向下為正，當(dāng)拉住質(zhì)量塊到最大位移位置后突然釋放，質(zhì)量塊將從正向最大位移運(yùn)動到平衡位置，然后再運(yùn)動到負(fù)向最大位移，接著再返回到平衡位置，進(jìn)一步運(yùn)動回到最初的正向最大位移位置處，完成一個往復(fù)運(yùn)動循環(huán)。整個振動過程是重復(fù)這個往復(fù)循環(huán)的過程。我們把振動發(fā)生完成一個完整往復(fù)循環(huán)所需要的時間稱為周期，用符號T表示，單位為 ；把一秒鐘內(nèi)完成往復(fù)循環(huán)振動的次數(shù)稱為頻率，用符號f表示，以Hz為單位，可記作1/秒(s-1)。1Hz表示一秒鐘振動往復(fù)循環(huán)一次。用Hz作為頻率的單位是為了紀(jì)念19世紀(jì)德國物理學(xué)家Heinrich Rudolf Hertz對人類文明作出的巨大貢獻(xiàn)，1930年國際電工委員會用他的名字命名頻率單位。除了Hz之外，還有kHz，MHz和GHz等作為高頻信號的單位。
圖2 物理學(xué)家Heinrich Rudolf Hertz
周期T與頻率f是倒數(shù)關(guān)系，即頻率等于1除以周期的商。
振動越快，周期越短，頻率越高；振動越慢，周期越長，頻率越低。因此，周期和頻率都是反映振動快慢的物理量。但相對而言，用頻率描述振動快慢更普遍、直觀。
2、頻率的分類
我們大多數(shù)情況下所講的機(jī)械振動，指的是平動所對應(yīng)的振動，也稱為線振動。振動頻率用f表示，將ω=2πf稱為圓頻率或角頻率，單位為弧度/秒(rad/s)。
除了平動的線振動之外，還有轉(zhuǎn)動的角振動。角振動通常用角位移、角速度和角加速度來描述，角振動頻率稱為角頻率，用符號ω表示。它由角振動系統(tǒng)的抗扭剛度kφ和轉(zhuǎn)動慣量J決定，即
結(jié)構(gòu)系統(tǒng)在受到外界激勵產(chǎn)生響應(yīng)時，將按特定頻率發(fā)生自然振動，這個特定頻率被稱為結(jié)構(gòu)的固有頻率，通常一個結(jié)構(gòu)有很多階固有頻率。固有頻率由系統(tǒng)本身的質(zhì)量分布與剛度分布決定，與外界激勵沒有關(guān)系。固有頻率常用f表示，但也有用圓頻率ω表示，由于二者相差固定系數(shù)，因此，可任意轉(zhuǎn)換。
對于無阻尼單自由系統(tǒng)而言，固有頻率計算公式定義如下：
單位為Hz。當(dāng)用圓頻率來表示固有頻率時，公式如下：
單位為rad/s。如果考慮的是無阻尼系統(tǒng)，那么，獲得的固有頻率為無阻尼固有頻率。
對于一般性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，都是有阻尼的，因此它的固有頻率為有阻尼固有頻率。無阻尼固有頻率與有阻尼固有頻率的關(guān)系如下：
式中ξ為阻尼比，通?，F(xiàn)實(shí)世界中測試所得到的固有頻率都是有阻尼固有頻率。通常，將結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第1階固有頻率稱為基頻。結(jié)構(gòu)發(fā)生振動時，通常不會是按某一個頻率振動，而是有多個振動頻率，在這些振動頻率中，能量最大的振動頻率稱為主頻。因此，這個主頻可能是結(jié)構(gòu)的固有頻率，也可能是強(qiáng)迫響應(yīng)頻率(外界的激勵頻率)。如圖3所示的功率譜密度(PSD)曲線中，存在3個峰值，假設(shè)都是固有頻率，最低階的固有頻率為基頻，峰值最高的頻率為主頻。由于主頻主要看的是能量大小，所以，主頻不一定是結(jié)構(gòu)的固有頻率，有可能是強(qiáng)迫響應(yīng)頻率。
圖3 某結(jié)構(gòu)響應(yīng)的PSD
當(dāng)外界激勵頻率與系統(tǒng)的某一階固有頻率相同或者非常接近時，系統(tǒng)將產(chǎn)生大幅度的振動響應(yīng)，這種現(xiàn)象稱之為共振，共振發(fā)生時的頻率稱為共振頻率。由于結(jié)構(gòu)存在多階固有頻率，因而，結(jié)構(gòu)的共振頻率也有多個。不管共振是否發(fā)生，結(jié)構(gòu)的固有頻率是不變的，而只有當(dāng)外界的激勵頻率接近或等于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)才出現(xiàn)共振現(xiàn)象。因而，共振頻率不一定完全與固有頻率相等，共振頻率是按外界的激勵頻率來講的，而固有頻率是從結(jié)構(gòu)屬性來講的。雖然很多情況下，都認(rèn)為共振頻率就是固有頻率。但是，二者還是有明顯的差異。
有些振動，如弦振動、密閉房間的聲腔模態(tài)或發(fā)動機(jī)的燃燒，會產(chǎn)生多個相關(guān)的頻率。這些相關(guān)的頻率成分稱為激勵的主要頻率成分的“諧波”，而激勵的主要頻率成分稱為“基頻”。諧波是指對周期性非正弦信號進(jìn)行傅里葉變換所得到的大于基頻的各次分量，通常稱為高次諧波。諧波的頻率等于基頻的整數(shù)倍，如基頻3倍的波稱之為三次諧波，基頻5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波?；l整數(shù)倍的諧波也稱為諧波分量。諧波分量在頻域的頻率成分稱為諧頻或倍頻，如圖4所示為琴弦基頻833Hz的各個諧頻成分。在與旋轉(zhuǎn)機(jī)械相關(guān)的瀑布圖或階次域中，諧波被稱之為諧階次，如4缸4沖程發(fā)動機(jī)的4，6，8階次為點(diǎn)火階次2階次的諧階次。
圖4 琴弦平均頻譜中的諧波成分
我國使用的生活用電是一種頻率為50Hz的正弦交流電，交流電的頻率，工業(yè)上稱之為工頻。在全世界的電力系統(tǒng)中，工頻有兩種，一種為50Hz，另一種是60Hz。在信號采集過程中經(jīng)常會出現(xiàn)工頻干擾，從頻域看信號的頻率成分為50Hz及它的倍頻，如圖5所示。工頻來源可能是供電的市電、發(fā)電機(jī)、電動機(jī)、泵、供電設(shè)備、日光燈、電磁場等。
圖5 工頻及其倍頻
對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，轉(zhuǎn)速(角速度)是一個非常重要的參數(shù)。轉(zhuǎn)速表示每分鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，單位為rpm(Revolution Per Minute)，如果用每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)來表示，則稱為轉(zhuǎn)動頻率，簡稱為轉(zhuǎn)頻，是頻率的一種表現(xiàn)形式。也就是說轉(zhuǎn)頻與轉(zhuǎn)速的關(guān)系如下： 轉(zhuǎn)頻=轉(zhuǎn)速/60
3、與階次的區(qū)別與聯(lián)系
對于常規(guī)的振動(線振動)而言，通常用頻率來描述一秒鐘內(nèi)振動往復(fù)的次數(shù)，這是常說的振動頻率。如圖6所示，在一秒鐘內(nèi)有兩個周期，因此，振動頻率是2Hz，或者說一秒鐘內(nèi)振動這個事件發(fā)生的次數(shù)是2次。用時間和頻率來描述常規(guī)的線振動。
圖6 振動頻率
對于扭轉(zhuǎn)振動(角振動)而言，通常用階次這個名詞來描述，階次表示的是旋轉(zhuǎn)部件每旋轉(zhuǎn)一圈(360度)事件發(fā)生的次數(shù)。與階次相對應(yīng)的是角度或者旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，而每旋轉(zhuǎn)一圈對應(yīng)360度，因此，圈數(shù)與角度是等價的。扭轉(zhuǎn)振動中的階次與圈數(shù)(或角度)對應(yīng)于常規(guī)振動中的頻率與時間。如圖7所示，橫軸表示圈數(shù)或角度，那么在一圈內(nèi)振動的周期是2個，那么振動這個事件發(fā)生2次，我們說階次是2階次。因此，階次的物理意義是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)。
圖7 階次
注意，圖6和圖7橫軸的差異，正是這個差異表明了二者的差異。階次是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)，而轉(zhuǎn)頻是表示每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，那么，階次對應(yīng)的事件的頻率則是階次乘以轉(zhuǎn)頻。因此，1階次對應(yīng)的事件的頻率是1倍的轉(zhuǎn)頻，k階次對應(yīng)的事件的頻率是k倍的轉(zhuǎn)頻，或者說1階次對應(yīng)的頻率是1倍轉(zhuǎn)頻，k階次對應(yīng)的頻率是k倍轉(zhuǎn)頻。不管轉(zhuǎn)速如何變化，這種關(guān)系都是固定不變的，因此，我們說階次獨(dú)立于轉(zhuǎn)速。
當(dāng)我們使用不同的轉(zhuǎn)速參考軸時，同一事件對應(yīng)的階次是不同的，但事件的頻率不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化的。也就是說，參考軸的轉(zhuǎn)頻與階次的乘積是保持不變的，即事件的頻率是不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化。
4、信號的頻率成分
信號的頻率成分分布或?qū)捇蛘粜盘栴l率分布很廣(信號頻率成分是連續(xù)的)，可以認(rèn)為是一個寬(頻)帶信號，如白噪聲。對于錘擊法而言，則是一種寬帶激勵技術(shù)，這是因為力脈沖對應(yīng)的力譜是一個連續(xù)的寬頻信號，能激起很寬的頻率范圍內(nèi)的模態(tài)，如圖8所示，上圖為力脈沖時域波形，下圖為力的PSD，從下圖可以看出，力譜是一個寬頻信號。通常，在時域窄的信號，在頻域有寬的頻率分布。
圖8 力脈沖(上)和力譜(下)
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與寬帶信號相對應(yīng)的是窄(頻)帶信號，假設(shè)信號的頻率寬度為B，中心頻率為f0，如圖9所示。通常認(rèn)為窄帶信號滿足以下要求：信號的頻率寬度B遠(yuǎn)小于中心頻率f0，通常要求B/f0＜0.1。例如，單頻信號屬于窄帶信號，以及我們大多數(shù)情況下測量的信號只包含若干個單頻成分，那么這也是窄帶信號，對應(yīng)的頻譜稱為窄帶譜(用若干譜線表示)。如使用步進(jìn)正弦進(jìn)行激勵時，則這種激勵技術(shù)是一種窄帶激勵技術(shù)，因為每一時刻，激勵信號只有一個單頻成分。
圖9 窄帶信號頻率示意
另外，也可以從頻率成分來理解寬帶與窄帶，若信號相鄰頻率成分相差很小，則可認(rèn)為是一個寬帶信號，如寬帶隨機(jī)信號；若相鄰頻率成分相差甚遠(yuǎn)，則屬于窄帶信號，如正弦信號。
若信號只有一個頻率成分，則稱為單頻信號，如正弦信號。單頻信號是窄帶信號的一種特殊形式。只包含單一頻率成分的聲音，稱為純音。
通常，我們測試的信號的頻率成分不會簡簡單單地只有一個單頻成分，更多的是由多個頻率，或有限數(shù)目相關(guān)的諧波，或無限數(shù)目不相關(guān)的單頻成分組成。如圖10所示，我們可以把信號的頻率成分分成以下四種情況：
(a)有限數(shù)目的諧波成分，如在某個固定轉(zhuǎn)速下變速箱的嘯叫。嘯叫聲為某級定軸齒輪對的嚙合頻率以及其倍頻。
(b)有限數(shù)目的非諧波成分，當(dāng)傳動裝置存在多個傳動路時，就會存在多個齒輪對，每個齒輪對都可能出現(xiàn)嘯叫聲，并且還有相應(yīng)的倍頻成分。
(c)無限頻率成分的連續(xù)譜，這種頻率成分類似隨機(jī)噪聲，包括所有的頻率成分，并且無主要的頻率成分，如路噪就屬于這種情況。
(d)復(fù)雜頻譜：既有若干單頻成分，又有連續(xù)的頻譜，也就是說既有隨機(jī)噪聲，又存在一些主要的單頻成分，如車內(nèi)噪聲和飛機(jī)噪聲就屬于這種情況。
圖10 信號頻率成分的四種典型情況
5、頻率測量方法
早期，測量設(shè)備欠發(fā)達(dá)，測量單頻信號的頻率成分時有與標(biāo)準(zhǔn)頻率比較的拍頻法、頻閃法，以及利用穩(wěn)定的李薩如圖判定頻率的示波器法和頻率計等測量方法。這些方法測量測量頻率單一，精度差，在今天，都已不常用。現(xiàn)今，普遍采用數(shù)據(jù)采集設(shè)備對模擬信號進(jìn)行采樣，獲得數(shù)字信號后，再利用快速傅立葉變換(FFT)確定信號的頻率成分，該方法可以確定信號復(fù)雜的頻率成分，且利用計算機(jī)處理，可邊測邊顯示頻率成分，高效便捷、顯示方便。
獲得數(shù)字化信號最普遍的形式是使用等時間采樣。也就是數(shù)據(jù)是按恒定的采樣率進(jìn)行采樣。在滿足香農(nóng)采樣定理前提條件下，采樣后的信號將不存在頻率混疊，采樣后的信號是有效的數(shù)字化信號x(t)。如果我們對這個信號x(t)進(jìn)行快速傅立葉分析，那么，將得到這個信號在不同頻率處的頻率分量，如圖11所示。使用數(shù)據(jù)采集設(shè)備進(jìn)行采樣獲得時域數(shù)字信號，是圖中從時域觀測到的時域信號，對這個采集到的時域信號進(jìn)行FFT變換，相當(dāng)是對這個時域信號進(jìn)行分解，分解成一系列不同幅值和頻率的正弦波或余弦波，圖中的時域信號是4個正弦波的組合，每個正弦波或余弦波使用一條譜線就可以描述，因此，當(dāng)從頻域觀測時，可以看到，圖示的信號有4條幅值不同的線狀譜，對應(yīng)圖中間的4個正弦波的頻率成分和幅值。因此，F(xiàn)FT變換是將信號從時域變換到頻域，告訴我們信號具有哪些頻率成分。某次實(shí)際測量的振動信號的頻譜如圖12所示。
圖11 FFT變換過程示意
圖12 某振動信號的頻譜
這個變換過程完全是可逆的。也就是說，如果我們有信號 x(t) ，我們能通過FFT變換得到X(f)。類似地，如果我們有信號X(f)，也可以通過IFT(傅立葉逆變換)變換能得到x(t)。有時，這個過程可以寫成如下形式x(t)?X(f)。
以上變換過程，從理論上講是可能的，但從現(xiàn)實(shí)角度來講，F(xiàn)FT變換過程存在泄漏，而IFT變換過程存在逆泄漏，因此，變換后總會丟失一些信息，使之與變換前存在明顯差異。
