1、頻率的定義
在這，我們以振動的頻率為例來進行說明，因此，解釋頻率之前，我們應該對振動的基本概念有所了解。振動是結構系統(tǒng)在其平穩(wěn)位置來回做往復運動。從廣義上講，表征物體運動的物理量作時而增大時而減小的反復變化，就可以稱這種運動為振動。如果變化的物理量是機械量或力學量，例如物體的位移、速度、加速度、應力及應變、噪聲等，這種振動便稱為機械振動。最簡單的機械振動是由彈簧-質(zhì)量組成的單自由度系統(tǒng)，如圖1所示，這類單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動可以用正弦或余弦函數(shù)或統(tǒng)稱為諧波函數(shù)來表示，故稱之為簡諧振動。
圖1 單自由度的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)
在圖1所示的簡諧振動的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)中，假設位移向下為正，當拉住質(zhì)量塊到最大位移位置后突然釋放，質(zhì)量塊將從正向最大位移運動到平衡位置，然后再運動到負向最大位移，接著再返回到平衡位置，進一步運動回到最初的正向最大位移位置處，完成一個往復運動循環(huán)。整個振動過程是重復這個往復循環(huán)的過程。我們把振動發(fā)生完成一個完整往復循環(huán)所需要的時間稱為周期，用符號T表示，單位為 ；把一秒鐘內(nèi)完成往復循環(huán)振動的次數(shù)稱為頻率，用符號f表示，以Hz為單位，可記作1/秒(s-1)。1Hz表示一秒鐘振動往復循環(huán)一次。用Hz作為頻率的單位是為了紀念19世紀德國物理學家Heinrich Rudolf Hertz對人類文明作出的巨大貢獻，1930年國際電工委員會用他的名字命名頻率單位。除了Hz之外，還有kHz，MHz和GHz等作為高頻信號的單位。
圖2 物理學家Heinrich Rudolf Hertz
周期T與頻率f是倒數(shù)關系，即頻率等于1除以周期的商。
振動越快，周期越短，頻率越高；振動越慢，周期越長，頻率越低。因此，周期和頻率都是反映振動快慢的物理量。但相對而言，用頻率描述振動快慢更普遍、直觀。
2、頻率的分類
我們大多數(shù)情況下所講的機械振動，指的是平動所對應的振動，也稱為線振動。振動頻率用f表示，將ω=2πf稱為圓頻率或角頻率，單位為弧度/秒(rad/s)。
除了平動的線振動之外，還有轉(zhuǎn)動的角振動。角振動通常用角位移、角速度和角加速度來描述，角振動頻率稱為角頻率，用符號ω表示。它由角振動系統(tǒng)的抗扭剛度kφ和轉(zhuǎn)動慣量J決定，即
結構系統(tǒng)在受到外界激勵產(chǎn)生響應時，將按特定頻率發(fā)生自然振動，這個特定頻率被稱為結構的固有頻率，通常一個結構有很多階固有頻率。固有頻率由系統(tǒng)本身的質(zhì)量分布與剛度分布決定，與外界激勵沒有關系。固有頻率常用f表示，但也有用圓頻率ω表示，由于二者相差固定系數(shù)，因此，可任意轉(zhuǎn)換。
對于無阻尼單自由系統(tǒng)而言，固有頻率計算公式定義如下：
單位為Hz。當用圓頻率來表示固有頻率時，公式如下：
單位為rad/s。如果考慮的是無阻尼系統(tǒng)，那么，獲得的固有頻率為無阻尼固有頻率。
對于一般性結構系統(tǒng)而言，都是有阻尼的，因此它的固有頻率為有阻尼固有頻率。無阻尼固有頻率與有阻尼固有頻率的關系如下：
式中ξ為阻尼比，通?，F(xiàn)實世界中測試所得到的固有頻率都是有阻尼固有頻率。通常，將結構系統(tǒng)的第1階固有頻率稱為基頻。結構發(fā)生振動時，通常不會是按某一個頻率振動，而是有多個振動頻率，在這些振動頻率中，能量最大的振動頻率稱為主頻。因此，這個主頻可能是結構的固有頻率，也可能是強迫響應頻率(外界的激勵頻率)。如圖3所示的功率譜密度(PSD)曲線中，存在3個峰值，假設都是固有頻率，最低階的固有頻率為基頻，峰值最高的頻率為主頻。由于主頻主要看的是能量大小，所以，主頻不一定是結構的固有頻率，有可能是強迫響應頻率。
圖3 某結構響應的PSD
當外界激勵頻率與系統(tǒng)的某一階固有頻率相同或者非常接近時，系統(tǒng)將產(chǎn)生大幅度的振動響應，這種現(xiàn)象稱之為共振，共振發(fā)生時的頻率稱為共振頻率。由于結構存在多階固有頻率，因而，結構的共振頻率也有多個。不管共振是否發(fā)生，結構的固有頻率是不變的，而只有當外界的激勵頻率接近或等于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)才出現(xiàn)共振現(xiàn)象。因而，共振頻率不一定完全與固有頻率相等，共振頻率是按外界的激勵頻率來講的，而固有頻率是從結構屬性來講的。雖然很多情況下，都認為共振頻率就是固有頻率。但是，二者還是有明顯的差異。
有些振動，如弦振動、密閉房間的聲腔模態(tài)或發(fā)動機的燃燒，會產(chǎn)生多個相關的頻率。這些相關的頻率成分稱為激勵的主要頻率成分的“諧波”，而激勵的主要頻率成分稱為“基頻”。諧波是指對周期性非正弦信號進行傅里葉變換所得到的大于基頻的各次分量，通常稱為高次諧波。諧波的頻率等于基頻的整數(shù)倍，如基頻3倍的波稱之為三次諧波，基頻5倍的波稱之為五次諧波，以此類推。不管幾次諧波，他們都是正弦波。基頻整數(shù)倍的諧波也稱為諧波分量。諧波分量在頻域的頻率成分稱為諧頻或倍頻，如圖4所示為琴弦基頻833Hz的各個諧頻成分。在與旋轉(zhuǎn)機械相關的瀑布圖或階次域中，諧波被稱之為諧階次，如4缸4沖程發(fā)動機的4，6，8階次為點火階次2階次的諧階次。
圖4 琴弦平均頻譜中的諧波成分
我國使用的生活用電是一種頻率為50Hz的正弦交流電，交流電的頻率，工業(yè)上稱之為工頻。在全世界的電力系統(tǒng)中，工頻有兩種，一種為50Hz，另一種是60Hz。在信號采集過程中經(jīng)常會出現(xiàn)工頻干擾，從頻域看信號的頻率成分為50Hz及它的倍頻，如圖5所示。工頻來源可能是供電的市電、發(fā)電機、電動機、泵、供電設備、日光燈、電磁場等。
圖5 工頻及其倍頻
對于旋轉(zhuǎn)機械而言，轉(zhuǎn)速(角速度)是一個非常重要的參數(shù)。轉(zhuǎn)速表示每分鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，單位為rpm(Revolution Per Minute)，如果用每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)來表示，則稱為轉(zhuǎn)動頻率，簡稱為轉(zhuǎn)頻，是頻率的一種表現(xiàn)形式。也就是說轉(zhuǎn)頻與轉(zhuǎn)速的關系如下： 轉(zhuǎn)頻=轉(zhuǎn)速/60
3、與階次的區(qū)別與聯(lián)系
對于常規(guī)的振動(線振動)而言，通常用頻率來描述一秒鐘內(nèi)振動往復的次數(shù)，這是常說的振動頻率。如圖6所示，在一秒鐘內(nèi)有兩個周期，因此，振動頻率是2Hz，或者說一秒鐘內(nèi)振動這個事件發(fā)生的次數(shù)是2次。用時間和頻率來描述常規(guī)的線振動。
圖6 振動頻率
對于扭轉(zhuǎn)振動(角振動)而言，通常用階次這個名詞來描述，階次表示的是旋轉(zhuǎn)部件每旋轉(zhuǎn)一圈(360度)事件發(fā)生的次數(shù)。與階次相對應的是角度或者旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，而每旋轉(zhuǎn)一圈對應360度，因此，圈數(shù)與角度是等價的。扭轉(zhuǎn)振動中的階次與圈數(shù)(或角度)對應于常規(guī)振動中的頻率與時間。如圖7所示，橫軸表示圈數(shù)或角度，那么在一圈內(nèi)振動的周期是2個，那么振動這個事件發(fā)生2次，我們說階次是2階次。因此，階次的物理意義是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)。
圖7 階次
注意，圖6和圖7橫軸的差異，正是這個差異表明了二者的差異。階次是表示每圈事件發(fā)生的次數(shù)，而轉(zhuǎn)頻是表示每秒鐘旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)，那么，階次對應的事件的頻率則是階次乘以轉(zhuǎn)頻。因此，1階次對應的事件的頻率是1倍的轉(zhuǎn)頻，k階次對應的事件的頻率是k倍的轉(zhuǎn)頻，或者說1階次對應的頻率是1倍轉(zhuǎn)頻，k階次對應的頻率是k倍轉(zhuǎn)頻。不管轉(zhuǎn)速如何變化，這種關系都是固定不變的，因此，我們說階次獨立于轉(zhuǎn)速。
當我們使用不同的轉(zhuǎn)速參考軸時，同一事件對應的階次是不同的，但事件的頻率不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化的。也就是說，參考軸的轉(zhuǎn)頻與階次的乘積是保持不變的，即事件的頻率是不隨轉(zhuǎn)速參考軸的變化而變化。
4、信號的頻率成分
信號的頻率成分分布或?qū)捇蛘?，若信號頻率分布很廣(信號頻率成分是連續(xù)的)，可以認為是一個寬(頻)帶信號，如白噪聲。對于錘擊法而言，則是一種寬帶激勵技術，這是因為力脈沖對應的力譜是一個連續(xù)的寬頻信號，能激起很寬的頻率范圍內(nèi)的模態(tài)，如圖8所示，上圖為力脈沖時域波形，下圖為力的PSD，從下圖可以看出，力譜是一個寬頻信號。通常，在時域窄的信號，在頻域有寬的頻率分布。
圖8 力脈沖(上)和力譜(下)
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與寬帶信號相對應的是窄(頻)帶信號，假設信號的頻率寬度為B，中心頻率為f0，如圖9所示。通常認為窄帶信號滿足以下要求：信號的頻率寬度B遠小于中心頻率f0，通常要求B/f0＜0.1。例如，單頻信號屬于窄帶信號，以及我們大多數(shù)情況下測量的信號只包含若干個單頻成分，那么這也是窄帶信號，對應的頻譜稱為窄帶譜(用若干譜線表示)。如使用步進正弦進行激勵時，則這種激勵技術是一種窄帶激勵技術，因為每一時刻，激勵信號只有一個單頻成分。
圖9 窄帶信號頻率示意
另外，也可以從頻率成分來理解寬帶與窄帶，若信號相鄰頻率成分相差很小，則可認為是一個寬帶信號，如寬帶隨機信號；若相鄰頻率成分相差甚遠，則屬于窄帶信號，如正弦信號。
若信號只有一個頻率成分，則稱為單頻信號，如正弦信號。單頻信號是窄帶信號的一種特殊形式。只包含單一頻率成分的聲音，稱為純音。
通常，我們測試的信號的頻率成分不會簡簡單單地只有一個單頻成分，更多的是由多個頻率，或有限數(shù)目相關的諧波，或無限數(shù)目不相關的單頻成分組成。如圖10所示，我們可以把信號的頻率成分分成以下四種情況：
(a)有限數(shù)目的諧波成分，如在某個固定轉(zhuǎn)速下變速箱的嘯叫。嘯叫聲為某級定軸齒輪對的嚙合頻率以及其倍頻。
(b)有限數(shù)目的非諧波成分，當傳動裝置存在多個傳動路時，就會存在多個齒輪對，每個齒輪對都可能出現(xiàn)嘯叫聲，并且還有相應的倍頻成分。
(c)無限頻率成分的連續(xù)譜，這種頻率成分類似隨機噪聲，包括所有的頻率成分，并且無主要的頻率成分，如路噪就屬于這種情況。
(d)復雜頻譜：既有若干單頻成分，又有連續(xù)的頻譜，也就是說既有隨機噪聲，又存在一些主要的單頻成分，如車內(nèi)噪聲和飛機噪聲就屬于這種情況。
圖10 信號頻率成分的四種典型情況
5、頻率測量方法
早期，測量設備欠發(fā)達，測量單頻信號的頻率成分時有與標準頻率比較的拍頻法、頻閃法，以及利用穩(wěn)定的李薩如圖判定頻率的示波器法和頻率計等測量方法。這些方法測量測量頻率單一，精度差，在今天，都已不常用?，F(xiàn)今，普遍采用數(shù)據(jù)采集設備對模擬信號進行采樣，獲得數(shù)字信號后，再利用快速傅立葉變換(FFT)確定信號的頻率成分，該方法可以確定信號復雜的頻率成分，且利用計算機處理，可邊測邊顯示頻率成分，高效便捷、顯示方便。
獲得數(shù)字化信號最普遍的形式是使用等時間采樣。也就是數(shù)據(jù)是按恒定的采樣率進行采樣。在滿足香農(nóng)采樣定理前提條件下，采樣后的信號將不存在頻率混疊，采樣后的信號是有效的數(shù)字化信號x(t)。如果我們對這個信號x(t)進行快速傅立葉分析，那么，將得到這個信號在不同頻率處的頻率分量，如圖11所示。使用數(shù)據(jù)采集設備進行采樣獲得時域數(shù)字信號，是圖中從時域觀測到的時域信號，對這個采集到的時域信號進行FFT變換，相當是對這個時域信號進行分解，分解成一系列不同幅值和頻率的正弦波或余弦波，圖中的時域信號是4個正弦波的組合，每個正弦波或余弦波使用一條譜線就可以描述，因此，當從頻域觀測時，可以看到，圖示的信號有4條幅值不同的線狀譜，對應圖中間的4個正弦波的頻率成分和幅值。因此，F(xiàn)FT變換是將信號從時域變換到頻域，告訴我們信號具有哪些頻率成分。某次實際測量的振動信號的頻譜如圖12所示。
圖11 FFT變換過程示意
圖12 某振動信號的頻譜
這個變換過程完全是可逆的。也就是說，如果我們有信號 x(t) ，我們能通過FFT變換得到X(f)。類似地，如果我們有信號X(f)，也可以通過IFT(傅立葉逆變換)變換能得到x(t)。有時，這個過程可以寫成如下形式x(t)?X(f)。
以上變換過程，從理論上講是可能的，但從現(xiàn)實角度來講，F(xiàn)FT變換過程存在泄漏，而IFT變換過程存在逆泄漏，因此，變換后總會丟失一些信息，使之與變換前存在明顯差異。
